13 - Operaciones básicas con matrices
Lección 13 del curso Álgebra Lineal para Ciencia de Datos y Machine Learning.
Tabla de contenido
Introducción
En la lección anterior vimos algunas definiciones y conceptos básicos acerca de las matrices, que son esencialmente tablas (o arreglos bidimensionales) que contienen cantidades numéricas.
Con estas definiciones claras, en esta lección nos enfocaremos en las principales operaciones que podemos realizar sobre una matriz, entre matrices y entre matrices y vectores, y que resultan fundamentales para diferentes algoritmos de Ciencia de Datos y Machine Learning.
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Suma y resta de matrices
La suma y resta entre pares de matrices se realiza simplemente sumando (o restando) elemento a elemento.
Lo anterior implica que las matrices sobre las que se realizan estas operaciones deben ser del mismo tamaño y que como resultado estas operaciones generan matrices del mismo tamaño (filas y columnas) que las originales.
Multiplicación elemento a elemento
La multiplicación elemento a elemento entre pares de matrices sigue la misma lógica de la suma y la resta: en este se opera sobre matrices del mismo tamaño y el resultado se obtiene simplemente multiplicando elementos correspondientes de las matrices.
Multiplicación de una matriz por un escalar
Esta operación es similar a la multiplicación de un vector por un escalar: se multiplica cada elemento de la matriz por el valor escalar y en este caso la matriz resultante tiene el mismo tamaño de la original
Multiplicación entre matrices
Esta multiplicación es diferente de la multiplicación elemento a elemento vista hace un momento.
En este caso el requisito es que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual a número de filas de la segunda matriz.
Por ejemplo, si la matriz A tiene m filas y n columnas entonces la matriz B deberá tener n filas (el mismo número de columnas de A) y un número de columnas arbitrario (supongamos igual a o).
En la multiplicación de matrices cada elemento de la matriz resultante se calcula como el [producto punto] entre cada fila de la primera matriz y cada columna de la segunda.
Volviendo al caso de las dos matrices anteriores, de tamaños mxn y nxo, obtendremos en este caso una matriz resultante de tamaño mxo.
Multiplicación de una matriz por un vector
Esta multiplicación es un caso particular de la multiplicación entre matrices. En últimas, un vector es como una matriz pero con una sola fila o una sola columna.
Así que para hacer la multiplicación se deben tener en cuenta los requisitos de la multiplicación entre matrices. Si la matriz es de tamaño mxn entonces el vector debe ser de tamaño nx1 (vector columna) y el resultado será precisamente un vector de tamaño mx1
Transpuesta de una matriz
Esta operación crea una nueva matriz cuyas filas y columnas están intercambiadas con respecto a la matriz original.
Inversa de una matriz
Una matriz inversa es aquella que al multiplicarla por la matriz original da como resultado la matriz identidad.
Un requisito para hablar de la inversa de una matriz es que la matriz debe ser cuadrada (aunque hay que tener en cuenta que no todas las matrices cuadradas son invertibles).
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Conclusión
Acabamos de ver las principales operaciones que podemos realizar sobre matrices, entre matrices y entre matrices y vectores. Muchas de estas operaciones resultan fundamentales como herramientas para la creación de diferentes algoritmos de Ciencia de Datos y Machine Learning.
En la próxima lección combinaremos específicamente los conceptos de multiplicación de matrices y de matrices y vectores para entender una operación muy usada en diferentes algoritmos de Machine Learning. Así que hablaremos específicamente de las [transformaciones afines].