9 - Proyecciones vectoriales y cambios de base

Lección 9 del curso Álgebra Lineal para Ciencia de Datos y Machine Learning.

Introducción

En la lección anterior hablamos de las bases y espacios vectoriales y de su uso en diferentes algoritmos del Machine Learning.

En esta lección combinaremos este y todos los conceptos vistos anteriormente (operaciones básicas con vectores, el producto punto entre vectores y la norma de un vector) para construir un concepto fundamental en el Álgebra Lineal y que tiene un amplio espectro de aplicaciones en el Machine Learning. Hablaremos de las proyecciones vectoriales y los cambios de base.

Para entender estos conceptos comenzaremos recordando qué son los vectores unitarios y cómo se pueden obtener. Después de esto veremos una definición de lo que es una proyección vectorial y la entenderemos con un ejemplo. Luego veremos una definición de lo que son los cambios de base y realizaremos también un ejemplo, y para terminar veremos las aplicaciones que tienen las proyecciones y los cambios de base en el Machine Learning y la Ciencia de Datos.

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Obtención de vectores unitarios

Recordemos que un vector unitario es aquel cuya norma L2 es exactamente igual a 1.

Para obtener un vector unitario a partir de un vector arbitrario en un espacio de n-dimensiones, simplemente dividimos dicho vector arbitrario entre su norma L2.

Proyección vectorial: definición

La proyección de un vector a sobre un vector b es una transformación lineal que permite cuantificar qué tanto de a hay en b y arroja como resultado un vector en la dirección de b

Para calcular dicha proyección usamos el producto punto y el concepto de vector unitario.

Cambio de base: definición

El cambio de base es una operación algebráica que permite transformar las coordenadas de un vector en una base a sus coordenadas equivalentes en otra base.

Aplicación en el Machine Learning

Una primera aplicación de los conceptos de proyección y cambio de base es el Análisis de Componentes Principales (algoritmo del cual hablamos en la lección anterior).

Y otro campo de aplicación es el Deep Learning, el campo del Machine Learning enfocado en el desarrollo de modelos basados en Redes Neuronales. En este caso las Redes Neuronales aprenden a mapear los datos de entrada del modelo a un espacio de diferentes dimensiones para realizar tareas como la clasificación o la regresión, por ejemplo.

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Conclusión

Muy bien, con lo visto en esta lección ya tenemos todos los elementos conceptuales fundamentales del Álgebra Lineal aplicados a los vectores.

Así que en la próxima lección pondremos en práctica todos estos conceptos para resolver un problema real de Machine Learning.

En particular usaremos Python y la librería NumPy para implementar y poner a prueba un algoritmo clásico del procesamiento del lenguaje natural: word2vec.

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