1 - ¿Qué es el Cálculo?
Lección 1 del curso Cálculo para Ciencia de Datos y Machine Learning.
Tabla de contenido
Introducción
En esta primera lección daremos una definición formal de lo que es el Cálculo y veremos un panorama general de las principales ramas del Cálculo que nos interesan para el caso de la Ciencia de Datos y el Machine Learning.
Video
En el canal de YouTube puedes ver el video completo de esta primera lección:
Ejemplo intuitivo: el desplazamiento de un vehículo
Situación 1: velocidad constante
Supongamos que un vehículo se mueve a una velocidad de 25 Km/h. Si se desplaza a esta velocidad de forma constante durante 2 horas, ¿cuánta distancia habrá recorrido?
En este caso la respuesta es sencilla, simplemente multiplicamos la velocidad (constante) por el tiempo que dura el recorrido y tendremos la distancia total: 25 Km/h x 2 horas = 50 Km.
Situación 2: velocidad constante pero por tramos
Ahora supongamos un ejemplo un poco más complejo. Supongamos que la velocidad NO es constante, es decir que cambia entre un instante de tiempo y otro, pero se mantiene constante durante ciertos intervalos de tiempo.
En particular:
- Entre 0 y 15 min la velocidad es 3 Km/h
- Entre 15 y 45 min la velocidad es 27 Km/h
- Entre 45 min y 1.5 horas la velocidad es 80 Km/h
- Entre 1.5 y 2 horas la velocidad es 60 Km/h
En este caso, para calcular la distancia total recorrida en 2 horas, debemos dividir el trayecto por periodos de tiempo donde la velocidad era constante, calcular las distancias recorridas individuales y luego sumar dichas distancias para calcular la distancia total recorrida.
De esta forma:
- Entre 0 y 15 min la distancia recorrida es (3 Km/h)x(0.25 h) = 0.75 Km
- Entre 15 y 45 min la distancia recorrida es (27 Km/h)x(0.5 h) = 13.5 Km
- Entre 45 min y 1.5 horas la distancia recorrida es (80 Km/h)x(0.75 h) = 60 Km
- Entre 1.5 y 2 horas la distancia recorrida es (60 Km/h)x(0.5 h) = 30 Km
Por tanto, la distancia total recorrida será 0.75 + 13.5 + 60 + 30 Km = 104.25 Km.
Situación 3: la velocidad cambia continuamente
Pero en el mundo real no sucede lo que vimos en los ejemplos anteriores.
Es decir, es casi imposible que la velocidad se mantenga constante por períodos de tiempo tan prolongados. En la práctica el vehículo estará acelerando o desacelerando casi de forma constante, así que la velocidad cambiará en todo momento.
Entonces, ¿cómo podemos calcular en este caso la distancia recorrida por el vehículo?
Podemos usar la misma lógica del ejemplo anterior: dividir el trayecto en períodos de tiempo “muy pequeños”, multiplicar cada intervalo de tiempo por la correspondiente velocidad y luego realizar la suma de las trayectorias.
Pero, ¿qué tan pequeños deben ser estos períodos de tiempo? Es evidente que entre más cortos sean mejor podremos estimar el desplazamiento en cada período de tiempo.
Así que idealmente estos períodos deberían ser de una duración infinitesimal, es decir deberían ser prácticamente (¡pero no iguales!) a cero.
Algunos elementos importantes
Del último ejemplo hemos visto implícitamente algunos elementos importantes:
- Hemos dicho que la velocidad del vehículo varía con el tiempo y hemos realizado una gráfica de este comportamiento en un plano de dos dimensiones (eje horizontal tiempo, eje vertical velocidad). Acá implícitamente hemos usado el concepto de función
- Hemos dicho que para calcular la distancia recorrida debíamos dividir el intervalo de tiempo en períodos infinitesimales. Implícitamente hemos usado el concepto de cálculo diferencial
- Finalmente, hemos dicho que para calcular la distancia total recorrida debemos sumar los resultados individuales. Implícitamente hemos usado el concepto de cálculo integral
Con esto ya estamos listos para dar una definición de lo que es el cálculo.
Definición del Cálculo
El Cálculo es el estudio de las funciones y sus propiedades (tomada del libro No Bullshit guide to math and physics (Ivan Savov, 2013)).
En el segundo módulo del curso hablaremos en detalle de las funciones, pero por ahora podemos decir que una función permite describir matemáticamente la relación entre variables (por ejemplo velocidad y su relación con el tiempo).
Campos de estudio que nos interesan
En particular nos interesan dos campos de estudio que tienen variedad de aplicaciones en la Ciencia de Datos y el Machine Learning:
El Cálculo Diferencial
En esta rama del Cálculo se estudia el concepto de derivadas.
Cuando en el ejemplo anterior hablamos del cálculo del desplazamiento del vehículo en cada instante de tiempo, estamos implícitamente haciendo uso del cálculo diferencial. El concepto central en el cálculo diferencial es la derivada.
El Cálculo Integral
El Cálculo Integral es la rama opuesta al Cálculo Diferencial: en el Cálculo Integral en lugar de realizar operaciones en pequeños bloques lo que tomamos son estos resultados para calcular valores acumulados.
El ejemplo fue cuando tomamos los desplazamientos individuales y los sumamos para obtener el desplazamiento total.
El concepto central en el Cálculo Integral es precisamente la integral.
Conclusión
Muy bien, ya tenemos un panorama claro de lo que es el cálculo y de los campos de estudio que nos resultarán útiles en Ciencia de Datos y Machine Learning: el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.
Teniendo esto claro, en la próxima lección vamos a entender la importancia que tiene el Cálculo en la Ciencia de Datos y el Machine Learning.