1 - ¿Qué es el Cálculo?

Lección 1 del curso Cálculo para Ciencia de Datos y Machine Learning.

Introducción

En esta primera lección daremos una definición formal de lo que es el Cálculo y veremos un panorama general de las principales ramas del Cálculo que nos interesan para el caso de la Ciencia de Datos y el Machine Learning.

Video

En el canal de YouTube puedes ver el video completo de esta primera lección:

Ejemplo intuitivo: el desplazamiento de un vehículo

Situación 1: velocidad constante

Supongamos que un vehículo se mueve a una velocidad de 25 Km/h. Si se desplaza a esta velocidad de forma constante durante 2 horas, ¿cuánta distancia habrá recorrido?

En este caso la respuesta es sencilla, simplemente multiplicamos la velocidad (constante) por el tiempo que dura el recorrido y tendremos la distancia total: 25 Km/h x 2 horas = 50 Km.

Situación 2: velocidad constante pero por tramos

Ahora supongamos un ejemplo un poco más complejo. Supongamos que la velocidad NO es constante, es decir que cambia entre un instante de tiempo y otro, pero se mantiene constante durante ciertos intervalos de tiempo.

En particular:

En este caso, para calcular la distancia total recorrida en 2 horas, debemos dividir el trayecto por periodos de tiempo donde la velocidad era constante, calcular las distancias recorridas individuales y luego sumar dichas distancias para calcular la distancia total recorrida.

De esta forma:

Por tanto, la distancia total recorrida será 0.75 + 13.5 + 60 + 30 Km = 104.25 Km.

Situación 3: la velocidad cambia continuamente

Pero en el mundo real no sucede lo que vimos en los ejemplos anteriores.

Es decir, es casi imposible que la velocidad se mantenga constante por períodos de tiempo tan prolongados. En la práctica el vehículo estará acelerando o desacelerando casi de forma constante, así que la velocidad cambiará en todo momento.

Entonces, ¿cómo podemos calcular en este caso la distancia recorrida por el vehículo?

Podemos usar la misma lógica del ejemplo anterior: dividir el trayecto en períodos de tiempo “muy pequeños”, multiplicar cada intervalo de tiempo por la correspondiente velocidad y luego realizar la suma de las trayectorias.

Pero, ¿qué tan pequeños deben ser estos períodos de tiempo? Es evidente que entre más cortos sean mejor podremos estimar el desplazamiento en cada período de tiempo.

Así que idealmente estos períodos deberían ser de una duración infinitesimal, es decir deberían ser prácticamente (¡pero no iguales!) a cero.

Algunos elementos importantes

Del último ejemplo hemos visto implícitamente algunos elementos importantes:

Con esto ya estamos listos para dar una definición de lo que es el cálculo.

Definición del Cálculo

El Cálculo es el estudio de las funciones y sus propiedades (tomada del libro No Bullshit guide to math and physics (Ivan Savov, 2013)).

En el segundo módulo del curso hablaremos en detalle de las funciones, pero por ahora podemos decir que una función permite describir matemáticamente la relación entre variables (por ejemplo velocidad y su relación con el tiempo).

Campos de estudio que nos interesan

En particular nos interesan dos campos de estudio que tienen variedad de aplicaciones en la Ciencia de Datos y el Machine Learning:

El Cálculo Diferencial

En esta rama del Cálculo se estudia el concepto de derivadas.

Cuando en el ejemplo anterior hablamos del cálculo del desplazamiento del vehículo en cada instante de tiempo, estamos implícitamente haciendo uso del cálculo diferencial. El concepto central en el cálculo diferencial es la derivada.

El Cálculo Integral

El Cálculo Integral es la rama opuesta al Cálculo Diferencial: en el Cálculo Integral en lugar de realizar operaciones en pequeños bloques lo que tomamos son estos resultados para calcular valores acumulados.

El ejemplo fue cuando tomamos los desplazamientos individuales y los sumamos para obtener el desplazamiento total.

El concepto central en el Cálculo Integral es precisamente la integral.

Conclusión

Muy bien, ya tenemos un panorama claro de lo que es el cálculo y de los campos de estudio que nos resultarán útiles en Ciencia de Datos y Machine Learning: el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

Teniendo esto claro, en la próxima lección vamos a entender la importancia que tiene el Cálculo en la Ciencia de Datos y el Machine Learning.

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