8 - Límites y continuidad
Lección 8 del curso Cálculo para Ciencia de Datos y Machine Learning.
Tabla de contenido
Introducción
En la lección anterior hablamos de las funciones más importantes en Ciencia de Datos y Machine Learning y con ese tema cerramos el segundo módulo del curso en donde nos enfocamos en las funciones.
En este tercer módulo del curso veremos los conceptos más importantes del Cálculo Diferencial, uno de los pilares fundamentales de la Ciencia de Datos y el Machine Learning.
Y en particular en esta lección comenzaremos revisando los concepto de límite y continuidad de una función, que servirán como punto de partida para los conceptos de Cálculo Diferencial que revisaremos más adelante.
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Límites: ejemplo intuitivo
Si consideramos la función exponencial vista en una lección anterior y analizamos su comportamiento para ciertos valores extremos de x veremos lo siguiente:
- A medida que x se hace más y más grande (del lado positivo) la función exponencial se aproxima a valores infinitos
- Mientras que si x se hace cada vez más negativa la función exponencial se aproxima a cero
En los casos anteriores tenemos implícitamente incluido el concepto de límite.
Definición y notación del límite de una función
Con base en el ejemplo anterior podemos dar una primera definición informal del concepto de límite. Podemos definir el límite de una función como el valor que toma la variable dependiente (f(x)) a medida que la variable independiente (x) se acerca a un cierto valor.
Sin embargo, podemos dar una definición matemática mucho más rigurosa: el límite de f(x) a medida que x se aproxima a a es L si hacemos x tan cercano como sea posible a a sin que sea exactamente igual a a.
Límites a izquierda y derecha
Partiendo de la definición de límite podemos además calcular el límite de una función, para un valor específico de x, acercándonos por la derecha o por la izquierda.
Estos límites los podemos usar para determinar si una función es continua o discontinua, como lo veremos a continuación.
Continuidad de una función
Cuando hablamos de las propiedades de las funciones vimos un a definición informal del concepto de continuidad: una función es continua cuando una variación en la variable independiente no genera “saltos” en la variable dependiente.
Sin embargo, usando el concepto de límite (y los límites a la izquierda y a la derecha) podemos dar una definición mucho más rigurosa y precisa.
Podemos entonces decir que una función f(x) es continua en a si el límite cuando x tiende a a de f(x) es simplemente f(a).
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Conclusión
Muy bien en este punto ya tenemos claro el concepto de límite y cómo se aplica para determinar si una función es continua o discontinua.
Con estos dos conceptos ya podemos comenzar a entender el concepto de la derivada. Entonces en la próxima lección veremos una definición de la derivada para funciones univariadas.