8 - Bases y espacios vectoriales
Lección 8 del curso Álgebra Lineal para Ciencia de Datos y Machine Learning.
Tabla de contenido
Introducción
En la lección anterior hablamos de la norma de un vector que es una medida de la magnitud o longitud espacial que tendría dicho vector si lo representamos geométricamente.
Esta lección veremos los conceptos de bases y espacios vectoriales y su aplicación en el Machine Learning. En particular hablaremos de combinación lineal, independencia lineal, base vectorial y espacio vectorial y veremos algunos ejemplos de aplicación de estos conceptos.
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Combinación lineal
Una combinación lineal es simplemente el resultado de sumar y/o restar vectores multiplicados por cantidades escalares.
Independencia lineal
Dos o más vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser expresado como una combinación lineal de los otros.
Base (o base vectorial)
Una base vectorial (o simplemente base) es un conjunto de vectores de la misma dimensión (es decir que contienen la misma cantidad de elementos) y que son linealmente independientes.
Espacio vectorial
Es un conjunto de vectores con los cuales podemos realizar sumas y/o restas entre vectores y multiplicaciones por escalares.
Por otra parte, la dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores base que tiene el espacio.
Por ejemplo: los vectores [0,1] y [1,0] son una base vectorial de 2 dimensiones. Los vectores [1,0,0], [0,1,0] y [0,0,1] son una base vectorial en 3 dimensiones.
Espacios vectoriales y bases
Y podemos ver la relación que existe entre las bases y los espacios vectoriales.
Todo espacio vectorial tendrá una base vectorial que da origen precisamente a todos los vectores. Es decir que a partir de la combinación lineal de los vectores base podremos representar cualquier vector de dicho espacio vectorial.
Casos de uso en el Machine Learning
Una aplicación del concepto de base y espacio vectorial es el algoritmo de Análisis de Componentes Principales (o PCA por sus siglas en Inglés: Principal Component Analysis).
Este algoritmo toma un set de datos (representados vectorialmente en una base determinada) y encuentra una forma equivalente de representarlos en otra base. Esto permite simplificar la complejidad con que se representan los datos.
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Conclusión
En esta lección hemos visto los conceptos de combinación lineal, independencia lineal, base vectorial y espacio vectorial, y un ejemplo de aplicación en Machine Learning.
En la próxima lección partiremos de estos conceptos para entender en qué consisten las proyecciones vectoriales y los cambios de base.